أسئلة تميل إلى السهولة ومكررة وزاريًا.

أولاً: تفصيل أسئلة هذا الامتحان (الصف السادس العلمي – 2025-2026)

المادة: الرياضيات
الصف: السادس العلمي
الزمن: ساعتان
التاريخ: 1/25/2026 (أو 25/1/2026)
ملاحظة: الإجابة عن خمسة أسئلة فقط (كل سؤال 20 درجة)

الأسئلة الواردة في الصور:

س1:

$$(1+w^2{)}^3+(1+w{)}^3=-2$$

*(على الأرجح المطلوب إثبات أن الطرف الأيسر يساوي -2، حيث $w$ هو العدد المركب $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ (الجذر التكعيبي للواحد). هذا يتعلق بجذور الوحدة (Cube roots of unity).*

س2:

$$\frac{1}{(2-i{)}^2}-\frac{1}{(2+i{)}^2}=\frac{8}{25}i$$

(المطلوب إثبات المساواة أو حساب قيمة الطرف الأيسر.)

س3:
قطعة مكافئ معادلته $A=0$ يمر بالنقطة $(1,2)$ – جد قيمة $A$ ثم جد بؤرته ودليله وارسم القطع.
*(المعادلة مكتوبة بشكل غير مكتمل: “قطعة مكايف معادلته A=0”. ربما كانت معادلة القطع المكافئ صيغتها $y^2=4ax$ أو $x^2=4ay$ وعوض بالنقطة لإيجاد المعلمة، ثم إيجاد البؤرة والدليل.)*

س4:
جد الصيغة القطبية للمقدار $(1+i{)}^2$ ثم جد الجذور التكعيبية له.
(أولاً: $(1+i{)}^2=2i$. ثم تحويل 2i إلى الصيغة القطبية: $2(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})$. ثم إيجاد الجذور التكعيبية باستخدام ديموافر).

س5:
*بيّن أن الدالة $g(x)=x^3-x$ تحقق مبرهنة رول على الفترة المعطاة (لم تحدد الفترة، قد تكون [0,1] أو [-1,1] مثلاً)، ثم جد قيمة $c$.*
(مبرهنة رول: إذا كانت الدالة متصلة على [a,b] وقابلة للاشتقاق على (a,b) وكانت $f(a)=f(b)$، فإنه يوجد c في (a,b) بحيث $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$. نحسب $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-1$، ثم نجد قيمة c.)

س6:
أجب عن فرعين مما يأتي:

• أ: جد قيم $x,y$ الحقيقتين إذا كان $\frac{3+i}{2-i}$ مترافقان. (العبارة غير واضحة: ربما إذا كان $\frac{3+i}{2-i}$ مترافقًا مع عدد آخر، أو إذا كان $x+iy$ يساوي هذا المقدار.)

• ب: عمود طوله 7.2m في نهايته مصباح، يتحرك رجل طوله 1.8m مبتعداً عن العمود بسرعة 30m/min. (على الأرجح المطلوب حساب معدل تغير طول ظل الرجل. هذا من تطبيقات المشتقات – المعدلات المرتبطة بالزمن.)

• ج: جد معدل تغير طول ظل الرجل (مكمل للفرع ب).

• د: جد طول كل من البؤرتين والرأسين، ثم جد طول كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطع الزائد:

  $$16x^2+160x-9y^2+18y=185$$

  (يجب إكمال المربع وتحويل المعادلة إلى الصورة القياسية للقطع الزائد، ثم استخراج المعطيات المطلوبة).

س7 (أو جزء من س6):
إذا كان $(3-4i)$ هو أحد جذري المعادلة التربيعية $x^2-nx+(10-5i)=0$، فما هو الجذر الثاني؟ وما قيمة $n$؟
(باستخدام قانون مجموع الجذور وحاصل ضربهما، نجد الجذر الثاني ثم قيمة n.)

أسئلة إضافية من الصورة الثانية (مكملة):

س4 (مكرر أو منفصل):

• أ: إذا كان $(3-4i)$ هو أحد جذري المعادلة $x^2-nx+(10-5i)=0$، فالجذر الثاني … (سبق ذكره).

• ب: حدد معادلة القطع الزائد الذي بؤرته هما بؤرتي القطع الناقص $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ ويمس دليل القطع المكافئ $x^2+12y=0$.
  (هذا سؤال مركب: أولاً إيجاد بؤري القطع الناقص (محور رأسي، لأن 25 تحت $y^2$ أكبر من 9 تحت $x^2$). ثم إيجاد معادلة القطع الزائد الذي له نفس البؤرتين. ثم استخدام شرط المماس لدليل القطع المكافئ لإيجاد معامل القطع الزائد.)

س5:

• أ: احسب ما يأتي: $\cos \frac{5\pi }{24}+i\sin \frac{5\pi }{24}$ – ربما يطلب حساب قيمة العدد المركب أو رفعه إلى قوة معينة (غير مكتمل).

• ب: حدد معادلة القطع الناقص الذي بؤرته $F_1(3,0),F_2(-3,0)$ ورأسه النقطتين $(5,0),(-5,0)$ ومركزه نقطة الأصل.
  *(هذا قطع ناقص أفقي مركزه (0,0)، a=5، c=3، ونحسب b² = a² – c² = 25 – 9 = 16، فالمعادلة: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$).*

س6:

• أ: جد الجذور الأربعة للعدد $(-16)$ باستخدام مبرهنة ديموافر.
  *(نكتب -16 في الصيغة القطبية: $16(\cos \pi +i\sin \pi )$، ثم نجد الجذور الرابعة: $2(\cos \frac{\pi +2k\pi }{4}+i\sin \frac{\pi +2k\pi }{4})$ مع k=0,1,2,3).*

• ب: بيّن أن الدالة $f(x)=\cos 2x+2\cos x$ تحقق مبرهنة رول على الفترة المعطاة (غير محددة)، ثم حدد قيمة c.
  (يجب إيجاد الفترة المناسبة حيث قيم الدالة عند الطرفين متساوية.)

• ج: حدد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين $(2,4),(2,4)$ (مكررة) ورأسه نقطة الأصل.
  *(ربما يقصد نقطتين مختلفتين؟ أو أن النقطتين متماثلتان؟ قطع مكافئ رأسه نقطة الأصل صيغته إما $y^2=4ax$ أو $x^2=4ay$. نعوض بالنقطة (2,4) نجد أن $y^2=8x$ تحقق: 16=16؟ 4²=16، 8×2=16، صحيح. إذن المعادلة $y^2=8x$.)*

ثانياً: المقارنة مع امتحان الرياضيات للصف الخامس (الذي حللته سابقًا)

خلاصة سريعة لامتحان الصف الخامس:

• المتتابعات (حسابية وهندسية، أوساط)

• الدائرة (معادلة، مركز، نصف قطر، مماس)

• حساب المثلثات (إيجاد قيم، متطابقات، حل معادلات)

• اللوغاريتمات (تبسيط، حل معادلات)

الفروقات الجوهرية بين الصفين:

ثالثاً: الموضوعات الأكثر تكراراً في هذا الامتحان (الصف السادس)

1. الأعداد المركبة:

   • العمليات الحسابية (جمع، طرح، ضرب، قسمة، مقلوب)

   • الصيغة القطبية (تحويل العدد المركب إلى $r(\cos \theta +i\sin \theta )$)

   • مبرهنة ديموافر لإيجاد الجذور (تربيعية، تكعيبية، رابعة)

   • جذور الوحدة (w) وخصائصها (1 + w + w² = 0، w³ = 1)

2. القطوع المخروطية:

   • القطع المكافئ: تحديد البؤرة والدليل والرأس، كتابة المعادلة من معطيات.

   • القطع الناقص: إيجاد البؤرتين، الرأسين، المحورين، الاختلاف المركزي، كتابة المعادلة.

   • القطع الزائد: إيجاد البؤرتين، الرأسين، الأوجين، الخطوط المقاربة، الاختلاف المركزي.

3. مبرهنة رول:

   • التحقق من شروط المبرهنة (الاتصال، القابلية للاشتقاق، تساوي قيم الدالة عند طرفي الفترة)

   • إيجاد قيمة c التي تجعل المشتقة الأولى صفرًا.

4. المعدلات المرتبطة بالزمن:

   • مسائل تتعلق بظل رجل، مصباح، عمود (تشبه إلى حد ما مسائل التفاضل في الصف الخامس لكن بتعمق أكبر)

5. الجذور التربيعية والتكعيبية للأعداد المركبة:

رابعاً: نصائح للطالب (الصف السادس العلمي)

للأعداد المركبة:

1. احفظ العلاقات الأساسية: $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$.

2. جذور الوحدة:

   • $w=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ و $w^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

   • خصائص: $1+w+w^2=0$, $w^3=1$, $w^2=\bar{w}$.

3. الصيغة القطبية:

   • $r=\sqrt{a^2+b^2}$ (المعيار)، $\theta ={\tan }^{-1}(b\mathrm{/}a)$ مع مراعاة الربع.

   • استخدم مبرهنة ديموافر: $[r(\cos \theta +i\sin \theta ){]}^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$.

   • للجذور: $\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n})$.

للقطوع المخروطية:

1. القطع المكافئ (رأس عند الأصل):

   • $y^2=4ax$ (محور أفقي، بؤرة (a,0)، دليل x = -a)

   • $x^2=4ay$ (محور رأسي، بؤرة (0,a)، دليل y = -a)

2. القطع الناقص (مركز عند الأصل):

   • $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (أفقي، a > b، بؤرتان (±c,0)، c² = a² – b²)

   • $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ (رأسي، a > b، بؤرتان (0,±c)، c² = a² – b²)

3. القطع الزائد (مركز عند الأصل):

   • $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (أفقي، بؤرتان (±c,0)، c² = a² + b²)

   • $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ (رأسي، بؤرتان (0,±c)، c² = a² + b²)

   • الاختلاف المركزي $e=c\mathrm{/}a$ (للقطع الناقص e<1، للقطع الزائد e>1).

لمبرهنة رول:

• الخطوات: تحقق من اتصال الدالة على [a,b]، وتفاضلها على (a,b)، ومساواة f(a) بـ f(b). ثم اشتق الدالة f'(x)، وساوِها بالصفر لإيجاد c.

• مثال: إذا كانت $f(x)=x^3-x$ على [-1,1]، f(-1)=0، f(1)=0، إذن تصلح. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-1=0$ ← $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. نختار $c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ أو $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ داخل الفترة.

للمعدلات المرتبطة بالزمن:

• استراتيجية الحل:

  1. ارسم شكلاً يوضح المعطيات.

  2. حدد المتغيرات (x, y, L، إلخ) والثوابت.

  3. اكتب العلاقة الهندسية بين المتغيرات (مثل نظرية فيثاغورس، التشابه).

  4. اشتق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن t.

  5. عوض بالقيم المعطاة (المعدلات، الأطوال) واحسب المطلوب.

استراتيجية الامتحان:

• اختَر أسئلتك بعناية: بما أنك ستجيب عن 5 من 6 أو 7 أسئلة، اقرأ جميع الأسئلة أولاً واختر الأسئلة التي تحتوي على:

  • فقرات عن الأعداد المركبة (سهلة الدرجات إذا حفظت القوانين).

  • فقرات عن القطوع المخروطية بعد إكمال المربع (تأتي غالباً).

  • فقرات عن مبرهنة رول إذا كانت الفترة واضحة.

• تجنب الأسئلة الطويلة جداً مثل التي تجمع بين قطع ناقص وقطع زائد وشروط مماس (مثل س4-ب في الصورة الثانية) إلا إذا كنت تتقنها تماماً.

خامساً: خلاصة نهائية

امتحان الرياضيات للصف السادس العلمي يمثل قفزة نوعية عن الصف الخامس، حيث ينتقل من المتتابعات والدائرة واللوغاريتمات إلى الأعداد المركبة والقطوع المخروطية والتفاضل المتقدم (رول والمعدلات المرتبطة).

لتحقيق درجة عالية:

1. أتقن الأعداد المركبة: الصيغة القطبية، ديموافر، الجذور، جذور الوحدة.

2. أتقن القطوع المخروطية الثلاثة: مكافئ، ناقص، زائد – معادلاتها، بؤرها، أدلتها، رؤوسها، اختلافها المركزي.

3. أتقن مبرهنة رول مع أمثلة على دوال مثلثية ومتعددة حدود.

4. حل مسائل المعدلات المرتبطة (الظل، العمود، المصباح) خطوة بخطوة.

أتمنى لك التوفيق والنجاح في امتحان الرياضيات للصف السادس العلمي.